Ensiklopedia Dunia

Dalam matematika, terutama dalam teori bilangan, bukti Hillel Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima merupakan bukti topologi bahwa himpunan bilangan bulat memuat takhingga banyaknya bilangan prima. Jika ditelaah dengan seksama, isi pembuktiannya lebih condong kepada pernyataan mengenai sifat-sifat barisan aritmetika dibandingkan pernyataan mengenai topologi.^[1]^[2] Berbeda dengan bukti klasik dari Euclid, bukti Furstenberg merupakan pembuktian melalui kontradiksi. Bukti Furstenberg dipublikasikan pada tahun 1955 dalam The American Mathematical Monthly ketik beliau masih menjadi mahasiswa strata 1 di Universitas Yeshiva.

Bukti Furstenberg

Didefinisikan topologi pada $\mathbb {Z}$ —yang dikenal sebagai topologi bilangan bulat berjarak sama—dengan mendefinisikan suatu himpunan $H\subseteq \mathbb {Z}$ sebagai himpunan terbuka jika dan hanya jika $H=\varnothing$ atau $H$ dapat dinyatakan sebagai gabungan dari barisan aritmetika $a\mathbb {Z} +b$ , yaitu

$a\mathbb {Z} +b=\left\{an+b\mid n\in \mathbb {Z} \right\}$

dengan $a\neq 0$ . Hal ini setara dengan menyatakan bahwa $H$ adalah himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap $x\in H$ , terdapat suatu bilangan bulat $a\neq 0$ sedemikian sehingga $a\mathbb {Z} +x\subseteq H$ . Berdasarkan definisi yang telah diberikan, maka aksioma untuk ruang topologi dapat dengan mudah diverifikasi:

∅ dan Z merupakan himpunan terbuka —

Himpunan kosong $\varnothing$ merupakan himpunan terbuka, berdasarkan definisi.

Himpunan $\mathbb {Z}$ merupakan himpunan terbuka, sebab $\mathbb {Z}$ dapat dinyatakan sebagai $1\mathbb {Z} -271$ .

Operasi irisan berhingga bersifat tertutup —

Diambil sembarang $n\in \mathbb {N}$ . Misalkan $K=\left\{H_{1},\,H_{2},\,\ldots ,\,H_{n}\right\}$ adalah koleksi dari sembarang $n$ himpunan terbuka. Didefinisikan himpunan $H=\bigcap _{i\,=\,1}^{n}H_{i}$ Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:

Jika setiap pasangan himpunan pada $K$ bersifat saling lepas—yaitu $H_{i}\cap H_{j}=\varnothing$ jika $i\neq j$ —maka $H=\varnothing$ . Akibatnya, terbukti bahwa irisan dari sembarang $n$ himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.
Jika $H\neq \varnothing$ , maka terdapat suatu elemen $x\in H$ . Akibatnya, berlaku $x\in H_{i}$ untuk setiap $H_{i}\in K$ . Diketahui bahwa $H_{i}$ adalah himpunan terbuka untuk setiap $i\in \left\{1,\,2,\,\ldots ,\,n\right\}$ , maka terdapat $a_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}$ sedemikian sehingga $a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}$ . Dengan memilih $a=\operatorname {KPK} (a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n})$ , maka berlaku $a\mathbb {Z} +x\subseteq a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}\subseteq H$ untuk setiap $i\in \left\{1,\,2,\,\ldots ,\,n\right\}$ . Dengan kata lain, terdapat $a=\operatorname {KPK} (a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n})$ sedemikian sehingga $a\mathbb {Z} +x\subseteq H$ , yang menunjukkan bahwa $H$ merupakan himpunan terbuka. Alhasil, terbukti bahwa irisan dari sembarang $n$ himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.

Operasi gabungan bersifat tertutup —

Misalkan $K=\left\{H_{i}\mid i\in I\right\}$ adalah koleksi dari sembarang himpunan terbuka dengan himpunan indeks $I$ . Didefinisikan himpunan $H=\bigcup _{i\,\in \,I}H_{i}$ Terdapat dua kasus yang mungkin terjadi:

Jika $H=\varnothing$ , maka terbukti bahwa sembarang gabungan dari suatu koleksi himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.
Jika $H\neq \varnothing$ , maka terdapat suatu elemen $x\in H$ . Diketahui bahwa $H_{i}$ adalah himpunan terbuka untuk setiap $i\in I$ , maka terdapat $a_{i}\in \mathbb {Z} \setminus \left\{0\right\}$ sedemikian sehingga $a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H_{i}$ . Oleh karena setiap $H_{i}\subseteq H$ , maka $a_{i}\mathbb {Z} +x\subseteq H$ . Akibatnya, $H$ merupakan himpunan terbuka. Dengan kata lain, terbukti bahwa sembarang gabungan dari suatu koleksi himpunan terbuka juga merupakan himpunan terbuka.

Topologi ini memiliki dua sifat yang perlu digarisbawahi:

Oleh karena setiap himpunan terbuka tak kosong memuat takhingga banyaknya elemen, setiap himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan terbuka. Dengan kata lain, komplemen dari sembarang himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan tertutup.
Himpunan basis $a\mathbb {Z} +b$ merupakan himpunan terbuka sekaligus tertutup, sebab $a\mathbb {Z} +b$ merupakan himpunan terbuka (berdasarkan definisi), dan komplemen dari $a\mathbb {Z} +b$ ialah $(a\mathbb {Z} +b)^{\mathsf {c}}=\bigcup _{k\,=\,1}^{\left|a\right|-1}a\mathbb {Z} +b+k$

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat selain $-1$ dan $1$ merupakan kelipatan dari suatu bilangan prima. Akibatnya, $\mathbb {Z} \setminus \left\{-1,\,1\right\}=\bigcup _{p\,\in \,P}p\mathbb {Z}$ dengan $P$ menyatakan himpunan semua bilangan prima. Berdasarkan sifat pertama, himpunan $\mathbb {Z} \setminus \left\{-1,\,1\right\}$ bukan merupakan himpunan tertutup. Di sisi lain, setiap himpunan $p\mathbb {Z}$ merupakan himpunan tertutup, berdasarkan sifat kedua. Andaikan $P$ merupakan himpunan hingga, maka ruas kanan merupakan gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup. Oleh karena gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup, maka terjadi kontradiksi. Akibatnya, asumsi bahwa $P$ merupakan himpunan hingga bernilai salah, sehingga $P$ haruslah himpunan takhingga. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima.