Dalam ilmu matematika, pembagi (bahasa Inggris: divisor) atau faktor (bahasa Inggris: factor) dari suatu bilangan bulat adalah suatu bilangan bulat yang dikalikan dengan bilangan bulat tertentu untuk menghasilkan , sehingga merupakan hasil perkalian . Dalam kasus tersebut, habis dibagi dengan jika merupakan pembagi dari , sehingga dibagi tidak menghasilkan sisa (atau sisa pembagian sama dengan 0).
Definisi
Suatu bilangan bulat habis dibagi oleh bilangan bulat taknol jika terdapat bilangan bulat yang memenuhi . Definisi tersebut dapat dirumuskan sebagai:
Notasi tersebut dapat dibaca: membagi adalah pembagi adalah faktor dari atau adalah hasil perkalian Jika tidak membagi , maka notasinya adalah [1][2]
Terdapat dua ekspresi matematika yang berhubungan dengan definisi tersebut, tergantung pada ketentuan apakah nol diperbolehkan untuk :
- Jika ekspresi tersebut tidak memuat syarat tambahan untuk , untuk setiap bilangan bulat .[1][2]
- Jika ekspresi tersebut mensyaratkan bukan bilangan nol, untuk setiap bilangan bulat taknol .[3][4]
Pengertian umum
Pembagi dapat berupa bilangan negatif atau bilangan positif, meskipun istilah ini umumnya terfokus pada bilangan pembagi positif. Misalnya, angka 4 sebenarnya memiliki enam pembagi, yaitu 1, 2, 4, −1, −2, dan −4, tetapi hanya bilangan positif (1, 2, and 4) yang biasanya disebutkan sebagai pembagi angka 4.
1 dan −1 dapat membagi (atau merupakan pembagi) setiap bilangan bulat. Setiap bilangan bulat (dan lawan bilangan negatifnya) adalah faktor bilangan itu sendiri. Bilangan bulat yang habis dibagi 2 disebut bilangan genap, dan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 2 disebut bilangan ganjil.
1, −1, dan disebut pembagi trivial dari , sedangkan pembagi yang bukan merupakan pembagi trivial disebut pembagi nontrivial.[5] Bilangan bulat taknol yang memiliki setidaknya satu pembagi nontrivial disebut bilangan komposit. Angka −1 dan 1 serta bilangan prima tidak memiliki pembagi nontrivial.
Aturan keterbagian dapat memprediksi pembagi-pembagi tertentu dari suatu bilangan dengan melihat angkanya.
Contoh
- 7 adalah pembagi dari 42 karena , sehingga dapat dikatakan . Dapat pula dikatakan bahwa 42 habis dibagi 7, 42 adalah hasil perkalian 7, 7 dapat membagi 42, atau 7 adalah faktor dari 42.
- Pembagi nontrivial dari 6 adalah 2, −2, 3, −3.
- Pembagi positif dari 42 adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- , karena .
- Himpunan semua faktor 60, , yang jika diurutkan secara parsial berdasarkan keterbagian (divisibility), dapat ditampilkan sebagai berikut dengan diagram Hasse:
Pembahasan lanjutan
Sejumlah kaidah dasar yang berhubungan dengan pembagi adalah sebagai berikut.
- Jika dan , maka . Kaidah tersebut termasuk relasi transitif.
- Jika dan , maka atau
- Jika dan maka berlaku, seperti halnya [a] Namun, jika dan maka tidak selalu berlaku (misalnya, dan , tapi ).
Jika dan [b], maka . Kaidah ini disebut Lemma Euklidean.
Jika merupakan bilangan prima dan , maka atau
Bilangan pembagi postif yang tidak sama dengan disebut pembagi sejati atau bagian alikuot dari (misalnya, pembagi sejati bilangan 6 ialah 1, 2, and 3). Bilangan yang tidak habis membagi melainkan menyisakan sisa pembagian terkadang disebut bagian alikuan dari .
Bilangan bulat yang hanya memiliki angka 1 sebagai pembagi sejatinya disebut bilangan prima. Oleh karena itu, bilangan prima didefinisikan sebagai bilangan bulat positif yang memiliki tepat dua bilangan faktor positif, yakni angka 1 dan dirinya sendiri.
Suatu pembagi positif dari bilangan merupakan hasil kali atas bilangan faktor prima dari yang dipangkatkan. Kaidah ini merupakan akibat dari teorema dasar aritmetika.
Bilangan merupakan bilangan sempurna jika bilangan tersebut sama dengan hasil jumlah pembagi sejatinya, merupakan bilangan defisien jika hasil jumlah pembagi sejatinya kurang dari atau merupakan bilangan berlimpah jika hasil jumlah tersebut lebih dari
Lihat pula
- Fungsi aritmetik
- Kaidah divisibilitas
- Fungsi pembagi
- Algoritme Euclid
- Pecahan
- Tabel pembagi—Sebuah tabel pembagi bilangan prima dan bilangan non-prima untuk 1–1000
- Tabel faktor bilangan prima—A table of prime factors for 1–1000
Referensi
- ^ a b Hardy & Wright 1960, hlm. 1
- ^ a b Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, hlm. 4
- ^ Sims 1984, hlm. 42
- ^ Durbin (2009), hlm. 57, Chapter III Section 10
- ^ "FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois" (PDF).
Pustaka
- Durbin, John R. (1992). Modern Algebra: An Introduction (edisi ke-3rd). New York: Wiley. ISBN 0-471-51001-7.
- Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed), Springer Verlag, 2004 ISBN 0-387-20860-7; section B.
- Herstein, I. N. (1986), Abstract Algebra, New York: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
- Sims, Charles C. (1984), Abstract Algebra: A Computational Approach, New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9
Kesalahan pengutipan: Ditemukan tag <ref>
untuk kelompok bernama "lower-alpha", tapi tidak ditemukan tag <references group="lower-alpha"/>
yang berkaitan
Konten ini disalin dari wikipedia, mohon digunakan dengan bijak.