Pola di alam adalah keteraturan bentuk kasatmata yang ditemukan di dunia alam. Pola-pola ini muncul kembali dalam konteks yang berbeda dan terkadang dapat dimodelkan secara matematis. Pola-pola alami meliputi simetri, pohon, spiral, meander, gelombang, busa, teselasi, retakan, dan belang.^[1] Para filsuf Yunani kuno mempelajari pola, di mana Plato, Pythagoras, dan Empedocles berupaya menjelaskan tatanan di alam. Pemahaman modern mengenai pola-pola visual berkembang secara bertahap seiring berjalannya waktu.

Pada abad ke-19, fisikawan Belgia Joseph Plateau mengamati selaput sabun, yang menuntunnya pada perumusan konsep permukaan minimal. Biolog sekaligus seniman Jerman Ernst Haeckel melukis ratusan organisme laut demi menonjolkan simetrinya. Biolog Skotlandia D'Arcy Thompson memelopori studi pola pertumbuhan pada tumbuhan maupun hewan, serta menunjukkan bahwa persamaan sederhana dapat menjelaskan pertumbuhan spiral. Pada abad ke-20, matematikawan Inggris Alan Turing memprediksi mekanisme morfogenesis yang memunculkan pola bintik dan belang. Biolog Hungaria Aristid Lindenmayer dan matematikawan Prancis-Amerika Benoît Mandelbrot menunjukkan bagaimana matematika fraktal dapat menciptakan pola pertumbuhan tanaman.

Matematika, fisika, dan kimia dapat menjelaskan pola di alam pada tingkat dan skala yang berbeda. Pola pada makhluk hidup dijelaskan melalui proses biologis dari seleksi alam dan seleksi seksual. Studi tentang pembentukan pola memanfaatkan model komputer untuk mensimulasikan beragam jenis pola.

Para filsuf Yunani awal berupaya menjabarkan keteraturan di alam, yang mengantisipasi konsep-konsep modern. Pythagoras (c. 570–c. 495 SM) menjelaskan pola di alam, layaknya harmoni musik, yang muncul dari angka, yang ia anggap sebagai unsur dasar eksistensi.^[a] Empedokles (c. 494–c. 434 SM) sampai batas tertentu telah mengantisipasi penjelasan evolusioner Darwin mengenai struktur organisme.^[b] Plato (c. 427–c. 347 SM) berargumen mengenai keberadaan universal alami. Ia menganggap hal ini terdiri dari bentuk ideal (εἶδοςcode: grc is deprecated eidos: "bentuk") di mana objek fisik tak lebih dari sekadar tiruan yang tidak sempurna. Dengan demikian, seekor bunga mungkin tampak bundar secara kasar, tetapi tidak pernah berupa lingkaran sempurna.^[2] Theophrastus (c. 372–c. 287 SM) mencatat bahwa tumbuhan "yang memiliki daun datar memilikinya dalam seri yang teratur"; Plinius yang Tua (23–79 M) mencatat susunan melingkar yang terpola tersebut.^[3] Berabad-abad kemudian, Leonardo da Vinci (1452–1519) mencatat susunan spiral pada pola daun, bahwa batang pohon memperoleh cincin berturut-turut seiring bertambahnya usia, dan mengajukan sebuah aturan yang konon dipenuhi oleh luas penampang cabang-cabang pohon.^[4][3]

Pada tahun 1202, Leonardo Fibonacci memperkenalkan barisan Fibonacci ke dunia barat melalui bukunya Liber Abacicode: la is deprecated .^[5] Fibonacci menyajikan sebuah eksperimen pikiran mengenai pertumbuhan populasi kelinci yang diidealkan.^[6] Johannes Kepler (1571–1630) menunjukkan adanya barisan Fibonacci di alam, menggunakannya untuk menjelaskan bentuk pentagon pada beberapa bunga.^[3] Pada tahun 1658, dokter dan filsuf Inggris Sir Thomas Browne membahas "bagaimana Alam Bergeometri" dalam The Garden of Cyrus, mengutip numerologi Pythagoras yang melibatkan angka 5, dan bentuk Platonik dari pola kuinkunks. Bab utama wacana tersebut menampilkan contoh dan pengamatan kuinkunks dalam botani.^[7] Pada tahun 1754, Charles Bonnet mengamati bahwa filotaksis spiral pada tanaman sering kali diekspresikan dalam deret rasio emas baik searah jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam.^[3] Pengamatan matematis filotaksis dilanjutkan dengan karya Karl Friedrich Schimper dan temannya Alexander Braun masing-masing pada tahun 1830 dan 1830; Auguste Bravais dan saudaranya Louis menghubungkan rasio filotaksis dengan barisan Fibonacci pada tahun 1837, serta mencatat kemunculannya pada runjung pinus dan nanas.^[3] Dalam bukunya tahun 1854, psikolog Jerman Adolf Zeising mengeksplorasi rasio emas yang diekspresikan dalam susunan bagian-bagian tanaman, rangka hewan, dan pola percabangan pembuluh darah serta sarafnya, juga dalam kristal.^[8][9][10]

Pada abad ke-19, fisikawan Belgia Joseph Plateau (1801–1883) merumuskan masalah matematika tentang keberadaan permukaan minimal dengan batas tertentu, yang dinamai menurut namanya. Ia mempelajari selaput sabun secara intensif, merumuskan hukum Plateau yang menggambarkan struktur yang dibentuk oleh selaput dalam busa.^[11] Lord Kelvin mengidentifikasi masalah cara paling efisien untuk mengemas sel dengan volume yang sama sebagai busa pada tahun 1887; solusinya hanya menggunakan satu benda padat, sarang lebah kubik bitrunkas, dengan sisi yang sedikit melengkung untuk memenuhi hukum Plateau. Tidak ada solusi yang lebih baik ditemukan hingga tahun 1993 ketika Denis Weaire dan Robert Phelan mengusulkan struktur Weaire–Phelan; Pusat Akuatika Nasional Beijing mengadaptasi struktur tersebut untuk dinding luarnya pada Olimpiade Musim Panas 2008.^[12] Ernst Haeckel (1834–1919) melukis ilustrasi indah organisme laut, khususnya Radiolaria, untuk menekankan simetrinya guna mendukung teori evolusi semu-Darwinian miliknya.^[13] Fotografer Amerika Wilson Bentley mengambil mikrograf pertama dari sebuah keping salju pada tahun 1885.^[14]

Pada abad ke-20, A. H. Church mempelajari pola filotaksis dalam bukunya tahun 1904.^[15] Pada tahun 1917, D'Arcy Wentworth Thompson menerbitkan On Growth and Form; deskripsinya tentang filotaksis dan barisan Fibonacci, hubungan matematis dalam pola pertumbuhan spiral tanaman menunjukkan bahwa persamaan sederhana dapat menggambarkan pola pertumbuhan spiral tanduk hewan dan cangkang moluska.^[16] Pada tahun 1952, ilmuwan komputer Alan Turing (1912–1954) menulis The Chemical Basis of Morphogenesis, sebuah analisis tentang mekanisme yang diperlukan untuk menciptakan pola pada organisme hidup, dalam proses yang disebut morfogenesis.^[17] Ia memprediksi reaksi kimia berosilasi, khususnya reaksi Belousov–Zhabotinsky. Mekanisme aktivator-inhibitor ini, saran Turing, dapat menghasilkan pola (dijuluki "pola Turing") berupa belang dan bintik pada hewan, serta berkontribusi pada pola spiral yang terlihat dalam filotaksis tanaman.^[18] Pada tahun 1968, ahli biologi teoretis Hungaria Aristid Lindenmayer (1925–1989) mengembangkan sistem-L, sebuah tata bahasa formal yang dapat digunakan untuk memodelkan pola pertumbuhan tumbuhan dengan gaya fraktal.^[19] Sistem-L memiliki alfabet simbol yang dapat digabungkan menggunakan aturan produksi untuk membangun untaian simbol yang lebih besar, dan mekanisme untuk menerjemahkan untaian yang dihasilkan menjadi struktur geometris. Pada tahun 1975, setelah berabad-abad perkembangan lambat matematika pola oleh Gottfried Leibniz, Georg Cantor, Helge von Koch, Wacław Sierpiński dan lainnya, Benoît Mandelbrot menulis makalah terkenal, How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, yang mengkristalkan pemikiran matematis ke dalam konsep fraktal.^[20]

• 
  Pola bilangan Fibonacci terjadi secara luas pada tanaman seperti pakis haji, Cycas circinalis.
• 
  Pusat Akuatika Nasional Beijing untuk Olimpiade 2008 memiliki struktur Weaire–Phelan.
• 
  D'Arcy Thompson memelopori studi pertumbuhan dan bentuk dalam bukunya tahun 1917.

Makhluk hidup seperti anggrek, burung kolibri, dan ekor merak memiliki desain abstrak dengan keindahan bentuk, pola, dan warna yang sulit ditandingi oleh seniman.^[21] Keindahan yang dipersepsikan manusia di alam memiliki penyebab pada tingkat yang berbeda, terutama dalam matematika yang mengatur pola apa yang dapat terbentuk secara fisik, dan pada makhluk hidup dalam efek seleksi alam, yang mengatur bagaimana pola berevolusi.^[22]

Matematika berupaya menemukan dan menjelaskan pola abstrak atau segala jenis keteraturan.^[23][24] Pola visual di alam menemukan penjelasannya dalam teori kekacauan, fraktal, spiral logaritmik, topologi, dan pola matematis lainnya. Sebagai contoh, sistem-L membentuk model yang meyakinkan dari berbagai pola pertumbuhan pohon.^[19]

Hukum fisika menerapkan abstraksi matematika ke dunia nyata, sering kali seolah-olah dunia ini sempurna. Misalnya, sebuah kristal dikatakan sempurna jika tidak memiliki cacat struktural seperti dislokasi dan sepenuhnya simetris. Kesempurnaan matematis yang eksak hanya dapat mendekati objek nyata.^[25] Pola yang tampak di alam diatur oleh hukum fisika; sebagai contoh, meander dapat dijelaskan menggunakan dinamika fluida.

Dalam biologi, seleksi alam dapat menyebabkan perkembangan pola pada makhluk hidup karena beberapa alasan, termasuk kamuflase,^[26] seleksi seksual,^[26] dan berbagai jenis sinyal, termasuk mimikri^[27] dan simbiosis pembersih.^[28] Pada tumbuhan, bentuk, warna, dan pola bunga yang mengalami penyerbukan oleh serangga seperti bunga bakung telah berevolusi untuk menarik serangga seperti lebah. Pola radial warna dan garis, beberapa hanya terlihat dalam cahaya ultraviolet, berfungsi sebagai pemandu nektar yang dapat dilihat dari kejauhan.^[29]

Simetri tersebar luas pada makhluk hidup. Hewan umumnya memiliki simetri bilateral atau simetri cermin, seperti halnya daun tanaman dan beberapa bunga seperti anggrek.^[30] Tumbuhan sering kali memiliki simetri radial atau simetri putar, seperti halnya banyak bunga dan beberapa kelompok hewan seperti anemon laut. Simetri lipat lima ditemukan pada ekinodermata, kelompok yang mencakup bintang laut, bulu babi, dan lilia laut.^[31]

Di antara benda mati, keping salju memiliki simetri lipat enam yang mencolok; struktur setiap keping membentuk rekaman kondisi yang bervariasi selama kristalisasinya, dengan pola pertumbuhan yang hampir sama pada keenam lengannya.^[32] Kristal secara umum memiliki beragam simetri dan habitus kristal; kristal bisa berbentuk kubik atau oktahedral, tetapi kristal sejati tidak dapat memiliki simetri lipat lima (tidak seperti kuasikristal).^[33] Simetri putar ditemukan pada skala yang berbeda di antara benda mati, termasuk pola percikan berbentuk mahkota yang terbentuk saat setetes air jatuh ke kolam,^[34] serta bentuk sferoid dan cincin planet seperti Saturnus.^[35]

Simetri memiliki beragam penyebab. Simetri radial cocok untuk organisme seperti anemon laut yang saat dewasa tidak bergerak: makanan dan ancaman dapat datang dari segala arah. Namun, hewan yang bergerak ke satu arah pasti memiliki sisi atas dan bawah, ujung kepala dan ekor, dan karenanya memiliki sisi kiri dan kanan. Kepala menjadi terspesialisasi dengan mulut dan organ indra (sefalisasi), dan tubuh menjadi simetris secara bilateral (meskipun organ dalam tidak harus demikian).^[36] Yang lebih membingungkan adalah alasan simetri lipat lima (pentaradiata) pada ekinodermata. Ekinodermata awal simetris secara bilateral, sebagaimana larvanya saat ini. Sumrall dan Wray berpendapat bahwa hilangnya simetri lama tersebut memiliki penyebab perkembangan dan ekologis.^[37] Dalam kasus telur es, adukan air yang lembut, yang ditiup oleh angin yang cukup kencang, membuat lapisan es konsentris terbentuk pada partikel inti yang kemudian tumbuh menjadi bola terapung saat berguling melalui arus yang membeku.^[38]

• 
  Hewan sering kali menunjukkan cermin atau simetri bilateral, seperti harimau ini.
• 
  Echinodermata seperti bintang laut ini memiliki simetri lipat lima.
• 
  Simetri lipat lima dapat dilihat pada banyak bunga dan beberapa buah seperti medlar ini.
• 
  Keping salju memiliki simetri lipat enam.
• 
  Fluorit yang menunjukkan habitus kristal kubik.
• 
  Percikan air mendekati simetri radial.
• 
  Garnet yang menunjukkan habitus kristal dodekahedral belah ketupat.
• 
  Anemon laut memiliki simetri putar.
• 
  Volvox memiliki simetri bola.
• 
  Telur es mendapatkan simetri bola karena digulung oleh angin dan arus.

Pola percabangan pohon dideskripsikan pada masa Renaisans Italia oleh Leonardo da Vinci. Dalam A Treatise on Painting ia menyatakan bahwa:

Semua cabang pohon pada setiap tahap ketinggiannya jika disatukan akan memiliki ketebalan yang sama dengan batang [di bawahnya].^[39]

Versi yang lebih umum menyatakan bahwa ketika dahan induk terbelah menjadi dua atau lebih dahan anak, luas permukaan dahan anak jika dijumlahkan sama dengan luas dahan induk.^[40] Rumusan yang setara adalah jika dahan induk terbelah menjadi dua dahan anak, maka diameter penampang dahan induk dan kedua dahan anak membentuk segitiga siku-siku. Salah satu penjelasannya adalah hal ini memungkinkan pohon untuk menahan angin kencang dengan lebih baik.^[40] Simulasi model biomekanis sesuai dengan aturan tersebut.^[41]

Fraktal adalah konstruksi matematis yang berulang dan serupa diri tanpa batas yang memiliki dimensi fraktal.^[20][42][43] Iterasi tak terbatas tidak mungkin terjadi di alam sehingga semua pola "fraktal" hanyalah perkiraan. Sebagai contoh, daun pakis dan umbelifera (Apiaceae) hanya serupa diri (menyirip) hingga tingkat ke-2, ke-3, atau ke-4. Pola pertumbuhan mirip pakis terjadi pada tanaman dan hewan termasuk bryozoa, koral, hydrozoa seperti pakis udara, Sertularia argentea, dan pada benda mati, terutama lepasan listrik. Fraktal sistem Lindenmayer dapat memodelkan berbagai pola pertumbuhan pohon dengan memvariasikan sejumlah kecil parameter termasuk sudut percabangan, jarak antar nodus atau titik cabang (panjang internodus), dan jumlah cabang per titik cabang.^[19]

Pola mirip fraktal terjadi secara luas di alam, dalam fenomena yang beragam seperti awan, jaringan sungai, garis patahan geologis, gunung, garis pantai,^[44] pewarnaan hewan, keping salju,^[45] kristal,^[46] percabangan pembuluh darah,^[47] sel Purkinje,^[48] sitoskeleton aktin,^[49] dan gelombang laut.^[50]

• 
  Pola pertumbuhan pohon tertentu menyerupai fraktal sistem Lindenmayer ini.
• 
  Pola percabangan pohon baobab
• 
  Daun tarragon liar, Anthriscus sylvestris, berbentuk 2- atau 3-menyirip, tidak tak terbatas
• 
  Spiral fraktal: brokoli Romanesco yang memperlihatkan bentuk serupa diri
• 
  Kepala bunga Angelica, sebuah bola yang terbuat dari bola-bola (serupa diri)
• 
  Pohon: figur Lichtenberg: dadalan dielektrik tegangan tinggi dalam sebuah balok polimer akrilik
• 
  Pohon: kristal tembaga dendritik (di mikroskop)

Spiral umum ditemukan pada tumbuhan dan beberapa hewan, terutama moluska. Sebagai contoh, pada nautilus, sejenis moluska sefalopoda, setiap ruang cangkangnya merupakan salinan perkiraan dari ruang berikutnya, yang diskalakan dengan faktor konstan dan tersusun dalam spiral logaritmik.^[51] Dengan pemahaman modern tentang fraktal, spiral pertumbuhan dapat dipandang sebagai kasus khusus dari keserupaan diri.^[52]

Spiral tumbuhan dapat dilihat pada filotaksis, yaitu susunan daun pada batang, dan pada susunan (parastiki^[53]) bagian lain seperti pada kepala bunga dan kepala biji majemuk layaknya bunga matahari atau struktur buah seperti nanas^{[15][54]: 337} dan salak, serta pada pola sisik pada runjung pinus, di mana terdapat spiral ganda yang berjalan baik searah maupun berlawanan arah jarum jam. Susunan ini memiliki penjelasan pada tingkatan yang berbeda – matematika, fisika, kimia, biologi – masing-masing benar secara individu, namun semuanya diperlukan secara bersamaan.^[55] Spiral filotaksis dapat dihasilkan dari rasio Fibonacci: barisan Fibonacci berjalan 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... (setiap angka berikutnya merupakan jumlah dari dua angka sebelumnya). Misalnya, ketika daun tumbuh berselang-seling pada batang, satu putaran spiral menyentuh dua daun, sehingga pola atau rasionya adalah 1/2. Pada hazel rasionya adalah 1/3; pada aprikot 2/5; pada pir 3/8; pada almon 5/13.^[56]  Perilaku hewan dapat menghasilkan spiral; misalnya, cacing acorn meninggalkan jejak kotoran berbentuk spiral di dasar laut.^[57] 

Dalam filotaksis cakram seperti pada bunga matahari dan daisy, kuntum bunga tersusun di sepanjang spiral Fermat, namun hal ini tersamarkan karena kuntum yang berurutan berjarak cukup jauh, sebesar sudut emas, 137,508° (membagi lingkaran dalam rasio emas); ketika kepala bunga matang sehingga semua elemen berukuran sama, jarak ini menciptakan sejumlah bilangan Fibonacci dari spiral yang lebih jelas terlihat.^[58]

Dari sudut pandang fisika, spiral adalah konfigurasi energi terendah^[59] yang muncul secara spontan melalui proses swakorporasi dalam sistem dinamis.^[60] Dari sudut pandang kimia, spiral dapat dihasilkan oleh proses reaksi-difusi, yang melibatkan aktivasi dan inhibisi. Filotaksis dikendalikan oleh protein yang memanipulasi konsentrasi hormon tumbuhan auksin, yang mengaktifkan pertumbuhan meristem, bersamaan dengan mekanisme lain untuk mengontrol sudut relatif kuncup di sekitar batang.^[61] Dari perspektif biologis, menyusun daun sejauh mungkin dalam ruang tertentu disukai oleh seleksi alam karena memaksimalkan akses ke sumber daya, terutama sinar matahari untuk fotosintesis.^[54]

• 
  Spiral Fibonacci
• 
  Domba bighorn, Ovis canadensis
• 
  Spiral: filotaksis dari aloe spiral, Aloe polyphylla
• 
  Spiral pertumbuhan logaritmik cangkang Nautilus
• 
  Spiral Fermat: kepala biji bunga matahari, Helianthus annuus
• 
  Spiral Fibonacci ganda: penampang melintang kubis merah
• 
  Cangkang spiral Trochoidea liebetruti
• 
  Tetesan air terbang dari bola basah yang berputar dalam spiral equiangular

Dalam matematika, sebuah sistem dinamis dikatakan kacau jika ia (sangat) sensitif terhadap kondisi awal (yang disebut "efek kupu-kupu"^[62]), yang mensyaratkan sifat-sifat matematis dari pencampuran topologis dan orbit periodik yang padat.^[63]

Di samping fraktal, teori kekacauan dianggap sebagai pengaruh yang esensial dan universal terhadap pola-pola di alam. Terdapat hubungan antara kekacauan dan fraktal—atraktor aneh dalam sistem kacau memiliki dimensi fraktal.^[64] Beberapa otomata seluler, yakni sekumpulan aturan matematika sederhana yang menghasilkan pola, menunjukkan perilaku kacau, terutama Aturan 30 milik Stephen Wolfram.^[65]

Deretan pusaran adalah pola zigzag dari pusaran berpilin yang tercipta akibat separasi aliran tak tunak dari sebuah fluida, paling sering udara atau air, saat melewati objek penghalang.^[66] Aliran halus (laminar) mulai terpecah ketika ukuran penghalang atau kecepatan aliran menjadi cukup besar dibandingkan dengan viskositas fluida tersebut.

Meander adalah kelokan berliku di sungai atau saluran lain, yang terbentuk manakala fluida, umumnya air, mengalir mengitari tikungan. Segera setelah jalurnya sedikit melengkung, ukuran dan kelengkungan setiap liku meningkat seiring aliran heliks menyeret material seperti pasir dan kerikil melintasi sungai ke bagian dalam tikungan. Bagian luar liku tersebut tetap bersih dan tak terlindungi, sehingga erosi semakin cepat, yang kian meningkatkan pembentukan meander dalam siklus umpan balik positif yang kuat.^[67]

• 
  Kekacauan: cangkang moluska gastropoda Conus textile, menyerupai otomata seluler Aturan 30
• 
  Aliran: deretan pusaran awan di Kepulauan Juan Fernandez
• 
  Meander: bekas meander dan danau tapal kuda yang dramatis di dataran banjir luas Rio Negro, dilihat dari luar angkasa
• 
  Meander: jalur berliku Rio Cauto, Kuba
• 
  Meander: ular merayap berliku-liku
• 
  Meander: karang otak simetris, Diploria strigosa

Gelombang adalah gangguan yang membawa energi saat bergerak. Gelombang mekanik merambat melalui medium – udara atau air, membuatnya berosilasi saat dilewatinya.^[68] Gelombang angin adalah gelombang permukaan laut yang menciptakan pola kacau yang khas pada setiap badan air yang besar, meskipun perilaku statistik mereka dapat diprediksi dengan model gelombang angin.^[69] Saat gelombang di air atau angin melewati pasir, mereka menciptakan pola riak. Ketika angin bertiup di atas hamparan pasir yang luas, angin menciptakan gumuk, terkadang di padang gumuk yang luas seperti di gurun Taklamakan. Gumuk dapat membentuk berbagai pola termasuk bulan sabit, garis lurus yang sangat panjang, bintang, kubah, parabola, dan bentuk memanjang atau seif ("pedang").^[70]

Barkhan atau gumuk bulan sabit dihasilkan oleh angin yang bekerja pada pasir gurun; kedua tanduk bulan sabit dan muka gelincir (slip face) menghadap ke arah hilir angin. Pasir tertiup melewati sisi hulu angin, yang berdiri sekitar 15 derajat dari horizontal, dan jatuh ke muka gelincir, di mana pasir menumpuk hingga mencapai sudut tenang pasir, yaitu sekitar 35 derajat. Ketika muka gelincir melebihi sudut tenang, pasir mengalami longsoran, yang merupakan perilaku nonlinier: penambahan banyak pasir dalam jumlah kecil tidak menyebabkan banyak perubahan, tetapi kemudian penambahan sedikit lagi pasir secara tiba-tiba menyebabkan longsoran pasir dalam jumlah besar.^[71] Terlepas dari nonlinieritas ini, barkhan berperilaku agak mirip dengan gelombang soliter.^[72]

• 
  Gelombang: gelombang pecah di jejak kapal
• 
  Gumuk: gumuk pasir di gurun Taklamakan, dari luar angkasa
• 
  Gumuk: gumuk pasir bulan sabit barkhan
• 
  Riak angin dengan dislokasi di Sistan, Afghanistan

Sebuah gelembung sabun membentuk sebuah bola, yakni permukaan dengan luas minimal (permukaan minimal) — luas permukaan terkecil yang mungkin untuk volume yang terlingkupi. Dua gelembung yang menyatu membentuk bentuk yang lebih kompleks: permukaan luar kedua gelembung tersebut berbentuk bola; permukaan-permukaan ini disatukan oleh permukaan bola ketiga saat gelembung yang lebih kecil sedikit menonjol ke dalam gelembung yang lebih besar.^[11]

Busa adalah massa gelembung; busa dari berbagai materi terdapat di alam. Busa yang terdiri dari selaput sabun mematuhi hukum Plateau, yang mengharuskan tiga selaput sabun bertemu di setiap tepi pada sudut 120° dan empat tepi sabun bertemu di setiap titik sudut pada sudut tetrahedral sekitar 109,5°. Hukum Plateau lebih lanjut mensyaratkan selaput tersebut harus mulus dan kontinu, serta memiliki kelengkungan rata-rata yang konstan di setiap titik. Sebagai contoh, sebuah selaput dapat tetap hampir datar secara rata-rata dengan melengkung ke atas di satu arah (misalnya, kiri ke kanan) sambil melengkung ke bawah di arah lain (misalnya, depan ke belakang).^[73][74] Struktur dengan permukaan minimal dapat digunakan sebagai tenda.

Pada skala sel hidup, pola busa adalah hal yang umum; radiolaria, spikula spons, eksoskeleton silicoflagellata, dan kerangka kalsit dari bulu babi, Cidaris rugosa, semuanya menyerupai cetakan mineral dari batas busa Plateau.^[75][76] Kerangka Radiolaria, Aulonia hexagona, bentuk laut indah yang digambar oleh Ernst Haeckel, tampak seolah-olah merupakan bola yang seluruhnya tersusun dari segienam, namun hal ini mustahil secara matematis. Karakteristik Euler menyatakan bahwa untuk setiap poliedron cembung, jumlah sisi ditambah jumlah titik sudut (pojok) sama dengan jumlah rusuk ditambah dua. Hasil dari rumus ini adalah bahwa setiap poliedron tertutup dari segienam harus mencakup tepat 12 segilima, seperti bola sepak, kubah geodesik Buckminster Fuller, atau molekul fulerena. Hal ini dapat divisualisasikan dengan memperhatikan bahwa jaring segienam itu datar seperti lembaran kawat ayam, tetapi setiap segilima yang ditambahkan memaksa jaring tersebut untuk menekuk (karena sudutnya lebih sedikit, sehingga jaring tersebut tertarik ke dalam).^[77]

• 
  Busa dari gelembung sabun: empat tepi bertemu di setiap titik sudut, pada sudut mendekati 109,5°, seperti pada dua ikatan C-H dalam metana.
• 
  Radiolaria yang digambar oleh Haeckel dalam karyanya Kunstformen der Natur (1904)
• 
  Spumellaria karya Haeckel; kerangka Radiolaria ini memiliki bentuk seperti busa.
• 
  Buckminsterfullerene C₆₀: Richard Smalley dan rekan-rekannya mensintesis molekul fulerena pada tahun 1985.
• 
  Brokosom (mikropartikel sekresi yang diproduksi oleh wereng) sering kali mendekati geometri fulerena.
• 
  Bola-bola yang sama (gelembung gas) dalam busa permukaan
• 
  Tenda sirkus mendekati permukaan minimal.

Teselasi adalah pola yang terbentuk oleh pengulangan ubin di seluruh permukaan datar. Terdapat 17 grup kertas dinding dari pengubinan.^[78] Meskipun umum dalam seni dan desain, pengubinan yang berulang secara persis lebih sulit ditemukan pada makhluk hidup. Sel-sel di sarang kertas tawon sosial, dan sel lilin dalam sarang lebah yang dibangun oleh lebah madu adalah contoh yang terkenal. Di antara hewan, ikan bertulang, reptil, atau trenggiling, atau buah-buahan seperti salak dilindungi oleh sisik yang tumpang tindih atau osteodermata, yang membentuk unit yang kurang lebih berulang secara persis, meskipun sering kali sisik tersebut faktanya bervariasi secara kontinu dalam ukuran. Di antara bunga, Fritillaria meleagris, memiliki pola papan catur yang terteselasi pada kelopaknya. Struktur mineral memberikan contoh yang baik dari susunan tiga dimensi yang berulang secara teratur. Meskipun terdapat ratusan ribu mineral yang diketahui, hanya ada sedikit kemungkinan jenis susunan atom dalam sebuah kristal, yang ditentukan oleh struktur kristal, sistem kristal, dan grup titik; sebagai contoh, terdapat tepat 14 kisi Bravais untuk 7 sistem kisi dalam ruang tiga dimensi.^[79]

• 
  Kristal: kristal berbentuk kubus dari halit (garam batu); sistem kristal kubik, simetri kristal heksoktahedral isometrik
• 
  Susunan: sarang lebah adalah teselasi alami.
• 
  Kristal hopper Bismut yang mengilustrasikan habitus kristal bertangga
• 
  Pengubinan: bunga terteselasi dari Fritillaria meleagris 
• 
  Pengubinan: sisik tumpang tindih dari ikan roach umum, Rutilus rutilus
• 
  Pengubinan: sisik tumpang tindih dari buah ular atau salak, Salacca zalacca
• 
  Lantai terteselasi: formasi batuan langka di Semenanjung Tasman

Retakan adalah bukaan linier yang terbentuk pada material untuk meredakan tegangan. Ketika material elastis meregang atau menyusut secara seragam, material tersebut akhirnya mencapai kekuatan putusnya dan kemudian gagal secara tiba-tiba di segala arah, menciptakan retakan dengan sambungan 120 derajat, sehingga tiga retakan bertemu pada satu simpul. Sebaliknya, ketika material inelastis gagal, retakan lurus terbentuk untuk meredakan tegangan. Tegangan lebih lanjut pada arah yang sama kemudian hanya akan membuka retakan yang sudah ada; tegangan pada sudut tegak lurus dapat menciptakan retakan baru, pada 90 derajat terhadap retakan lama. Dengan demikian, pola retakan menunjukkan apakah material tersebut elastis atau tidak.^[80] Pada material berserat yang tangguh seperti kulit pohon ek, retakan terbentuk untuk meredakan tegangan seperti biasa, tetapi tidak tumbuh panjang karena pertumbuhannya terganggu oleh berkas serat elastis yang kuat. Karena setiap spesies pohon memiliki strukturnya sendiri pada tingkat sel dan molekul, masing-masing memiliki pola pembelahan tersendiri pada kulit kayunya.^[81]

• 
  Permukaan tembikar tua, glasir putih dengan retakan dominan 90°
• 
  Lumpur inelastis yang mengering di Rann of Kutch dengan retakan dominan 90°
• 
  Gabro berurat dengan retakan 90°, dekat Sgurr na Stri, Skye
• 
  Lumpur elastis yang mengering di Sisilia dengan retakan dominan 120°
• 
  Basalt yang mendingin di Giant's Causeway. Retakan vertikal dominan 120° menghasilkan kolom heksagonal
• 
  Batang pohon palem dengan retakan vertikal bercabang (dan bekas daun horizontal)

Macan tutul dan kepik memiliki bintik; ikan bidadari dan zebra memiliki belang.^[82] Pola-pola ini memiliki penjelasan evolusioner: pola tersebut memiliki fungsi yang meningkatkan peluang keturunan hewan berpola tersebut untuk bertahan hidup dan bereproduksi. Salah satu fungsi pola hewan adalah kamuflase;^[26] sebagai contoh, seekor macan tutul yang lebih sulit terlihat akan menangkap lebih banyak mangsa. Fungsi lainnya adalah pemberian sinyal^[27] — misalnya, seekor kepik lebih kecil kemungkinannya diserang oleh burung predator yang berburu dengan penglihatan, jika ia memiliki warna peringatan yang mencolok, dan juga terasa pahit atau beracun, atau meniru serangga lain yang tidak enak dimakan. Seekor burung muda mungkin melihat serangga dengan pola peringatan seperti kepik dan mencoba memakannya, namun ia hanya akan melakukannya sekali; dengan segera ia akan memuntahkan serangga pahit tersebut; kepik lain di area tersebut akan tetap tidak terganggu. Macan tutul dan kepik muda, yang mewarisi gen yang entah bagaimana menciptakan bintik-bintik tersebut, bertahan hidup. Namun, sementara argumen evolusioner dan fungsional ini menjelaskan mengapa hewan-hewan ini membutuhkan polanya, argumen tersebut tidak menjelaskan bagaimana pola-pola itu terbentuk.^[82]

• 
  Kupu-kupu kecantikan Dirce, Colobura dirce
• 
  Zebra grevy, Equus grevyi
• 
  Ikan bidadari dwiwarna, Pygoplites diacanthus
• 
  Macan tutul, Panthera pardus pardus
• 
  Deretan kepik oleh G.G. Jacobson
• 
  Pola kawin bergaris sotong, Sepia officinalis

Alan Turing,^[17] dan kemudian ahli biologi matematika James Murray,^[83] mendeskripsikan sebuah mekanisme yang secara spontan menciptakan pola bintik atau belang: sebuah sistem reaksi–difusi.^[84] Sel-sel organisme muda memiliki gen yang dapat diaktifkan oleh sinyal kimia, sebuah morfogen, yang menghasilkan pertumbuhan jenis struktur tertentu, katakanlah bercak kulit berpigmen gelap. Jika morfogen hadir di mana-mana, hasilnya adalah pigmentasi yang merata, seperti pada macan tutul hitam. Namun jika terdistribusi secara tidak merata, bintik atau belang dapat terjadi. Turing menyarankan bahwa mungkin ada kontrol umpan balik terhadap produksi morfogen itu sendiri. Hal ini dapat menyebabkan fluktuasi berkelanjutan dalam jumlah morfogen saat ia berdifusi ke seluruh tubuh. Mekanisme kedua diperlukan untuk menciptakan pola gelombang berdiri (untuk menghasilkan bintik atau belang): sebuah bahan kimia penghambat (inhibitor) yang mematikan produksi morfogen, dan yang berdifusi ke seluruh tubuh lebih cepat daripada morfogen itu sendiri, menghasilkan skema aktivator-inhibitor. Reaksi Belousov–Zhabotinsky adalah contoh non-biologis dari skema semacam ini, sebuah osilator kimia.^[84]

Penelitian selanjutnya telah berhasil membuat model yang meyakinkan dari pola yang beragam seperti belang zebra, bercak jerapah, bintik jaguar (bercak agak gelap yang dikelilingi oleh cincin gelap yang putus-putus) dan pola cangkang kepik (tata letak geometris bintik dan garis yang berbeda, lihat ilustrasi).^[85] Model aktivasi-inhibisi Richard Prum, yang dikembangkan dari karya Turing, menggunakan enam variabel untuk menjelaskan kisaran sembilan pola pigmentasi dasar dalam bulu yang diamati, mulai dari yang paling sederhana, bercak pigmen pusat, melalui bercak konsentris, batang, chevron, bintik mata, sepasang bintik pusat, barisan bintik berpasangan, dan deretan titik.^[86][87] Model yang lebih rumit mensimulasikan pola bulu yang kompleks pada ayam mutiara Numida meleagris di mana bulu-bulu individunya menampilkan transisi dari garis di bagian pangkal menjadi deretan titik di ujung jauh (distal). Ini memerlukan osilasi yang diciptakan oleh dua sinyal penghambat, dengan interaksi dalam ruang dan waktu.^[87]

Pola dapat terbentuk karena alasan lain dalam lanskap bervegetasi dari semak harimau^[88] dan gelombang cemara.^[89] Belang semak harimau terjadi di lereng gersang di mana pertumbuhan tanaman dibatasi oleh curah hujan. Setiap jalur vegetasi yang kira-kira horizontal secara efektif mengumpulkan air hujan dari zona gundul tepat di atasnya.^[88] Gelombang cemara terjadi di hutan di lereng gunung setelah gangguan angin, selama regenerasi. Ketika pohon tumbang, pohon-pohon yang sebelumnya terlindungi menjadi terekspos dan pada gilirannya lebih mungkin mengalami kerusakan, sehingga celah cenderung meluas ke arah hilir angin. Sementara itu, di sisi hulu angin, pohon-pohon muda tumbuh, terlindungi oleh bayang-bayang angin dari pohon-pohon tinggi yang tersisa.^[89] Pola alami terkadang dibentuk oleh hewan, seperti pada gundukan Mima di Amerika Serikat Bagian Barat Laut dan beberapa daerah lain, yang tampaknya diciptakan selama bertahun-tahun oleh aktivitas penggalian gopher saku,^[90] sementara apa yang disebut lingkaran peri di Namibia tampaknya diciptakan oleh interaksi kelompok rayap pasir yang bersaing, bersama dengan persaingan untuk mendapatkan air di antara tanaman gurun.^[91]

Di tanah permafrost dengan lapisan atas aktif yang mengalami pembekuan dan pencairan tahunan, tanah berpola dapat terbentuk, menciptakan lingkaran, jaring, poligon baji es, undakan, dan garis. Kontraksi termal menyebabkan terbentuknya retakan penyusutan; saat mencair, air mengisi retakan tersebut, memuai membentuk es saat membeku kembali, dan melebarkan retakan menjadi baji. Retakan ini dapat menyatu membentuk poligon dan bentuk lainnya.^[92]

Pola bercelah yang berkembang pada otak vertebrata disebabkan oleh proses fisik ekspansi terbatas yang bergantung pada dua parameter geometris: ekspansi kortikal tangensial relatif dan ketebalan relatif korteks. Pola serupa dari gyri (puncak) dan sulci (lembah) telah ditunjukkan dalam model otak yang dimulai dari gel berlapis halus, dengan pola yang disebabkan oleh gaya mekanis kompresif yang dihasilkan dari ekspansi lapisan luar (mewakili korteks) setelah penambahan pelarut. Model numerik dalam simulasi komputer mendukung pengamatan alami dan eksperimental bahwa pola pelipatan permukaan meningkat pada otak yang lebih besar.^[93][94]

• 
  Ikan buntal raksasa, Tetraodon mbu
• 
  Detail pola kulit ikan buntal raksasa
• 
  Cuplikan simulasi reaksi Belousov–Zhabotinsky
• 
  Ayam mutiara berhelm, Numida meleagris, transisi bulu dari bergaris menjadi berbintik, baik pada sehelai bulu maupun di seluruh tubuh burung
• 
  Pemandangan udara dataran tinggi semak harimau di Niger
• 
  Gelombang cemara di White Mountains, New Hampshire
• 
  Tanah berpola: pingo yang mencair dengan poligon baji es di sekitarnya dekat Tuktoyaktuk, Kanada
• 
  Lingkaran peri di area Marienflusstal di Namibia
• 
  Otak manusia (tampilan superior) yang menunjukkan pola gyri dan sulci

• Biologi perkembangan
• Kemunculan (filsafat)
• Sejarah evolusi tumbuhan
• Matematika dan seni
• Morfogenesis
• Pembentukan pola
• Pola Widmanstätten

Catatan kaki

Kutipan

Pengarang perintis

Wikisource Latin memiliki teks asli yang berkaitan dengan artikel ini:

Liber abbaci

• Fibonacci, Leonardo. Liber Abaci, 1202.
  • ———— translated by Sigler, Laurence E. Fibonacci's Liber Abaci. Springer, 2002.
• Haeckel, Ernst. Kunstformen der Natur (Art Forms in Nature), 1899–1904.
• Thompson, D'Arcy Wentworth. On Growth and Form. Cambridge, 1917.

Buku umum

• Adam, John A. Mathematics in Nature: Modeling Patterns in the Natural World. Princeton University Press, 2006.
• Ball, Philip (2009a). Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 1: Shapes. Oxford University Press.
• Ball, Philip (2009b). Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 2: Flow. Oxford University Press.
• Ball, Philip (2009c). Nature's Patterns: a tapestry in three parts. 3. Branches. Oxford University Press.
• Ball, Philip (2016). Patterns in Nature: why the natural world looks the way it does. University of Chicago Press.
• Murphy, Pat and Neill, William. By Nature's Design. Chronicle Books, 1993.
• Rothenberg, David (2011). Survival of the Beautiful: Art, Science and Evolution. Bloomsbury Press.
• Gielis, Johan (2017). The Geometrical Beauty of Plants. Atlantis Press.
• Stevens, Peter S. (1974). Patterns in Nature. Little, Brown & Co.
• Stewart, Ian (2001). What Shape is a Snowflake? Magical Numbers in Nature. Weidenfeld & Nicolson.

Pola dari alam (sebagai seni)

• Edmaier, Bernard. Patterns of the Earth. Phaidon Press, 2007.
• Macnab, Maggie. Design by Nature: Using Universal Forms and Principles in Design. New Riders, 2012.
• Nakamura, Shigeki. Pattern Sourcebook: 250 Patterns Inspired by Nature.. Books 1 and 2. Rockport, 2009.
• O'Neill, Polly. Surfaces and Textures: A Visual Sourcebook. Black, 2008.
• Porter, Eliot, and Gleick, James. Nature's Chaos. Viking Penguin, 1990.

• Fibonacci Numbers and the Golden Section
• Phyllotaxis: an Interactive Site for the Mathematical Study of Plant Pattern Formation