Dalam matematika dan lebih khususnya aljabar, sebuah sistem persamaan (entah linear maupun nonlinear) dikatakan konsisten jika terdapat setidaknya satu set nilai dari peubah yang tidak diketahui yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem tersebut. Hal ini berarti ketika nilai tersebut disubtitusikan pada setiap persamaan, nilai-nilai tersebut membuat persamaan tersebut benar sebagai sebuah identitas. Sebaliknya, sebuah sistem persamaan dikatakan inkonsisten atau tidak konsisten ketika tidak ada set nilai yang dapat memenuhi setiap persamaan.^[1][2]

Jika sebuah sistem persamaan inkonsisten, maka persamaan tersebut tidak dapat dikatakan benar bersama yang mengarah pada informasi yang saling bertentangan. Misalnya, terdapat pernyataan salah seperti 2 = 1 atau x² + y² = 2 dan x² + y² = 3 (yang menyiratkan bahwa 2 = 3).

Kedua tipe sistem persamaan ini, inkonsisten maupun konsisten, dapat berupa sistem kelebihan persamaan [en] (memiliki lebih banyak persamaan dibandingkan peubah yang tidak diketahui), sistem kekurangan persamaan [en] (memiliki lebih sedikit persamaan dibandingkan dengan peubah yang tidak diketahui), atau sesuai.

System berikut,

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+2z&=4\end{aligned}}}$

memiliki jumlah solusi tak hingga, dengan kesemuanya memiliki z = 1. Hal ini didapatkan dengan mengurangi persamaan pertama dan kedua) dan semuanya memiliki x + y = 2 untuk semua nilai x dan y. Karena sistem ini memiliki lebih dari satu solusi, maka sistem ini disebut sebagai sistem persamaan taktentu [en].

Sistem

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y+z&=3,\\x+y+z&=4\end{aligned}}}$

tidak memiliki solusi. Hal ini karena jika persamaan kedua dikurangi oleh persamaan pertama, maka akan dihasilkan 0 = 1.

Sistem

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=5\end{aligned}}}$

memiliki satu solusi, yaitu x = 1 dan y = 2.

Sistem

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\4x+4y&=10\end{aligned}}}$

tidak memiliki solusi karena jika persamaan pertama dikalikan dengan empat, lalu dikurangi dengan persamaan kedua, akan dihasilkan 0 = 2.

Sistem

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=20\end{aligned}}}$

memiliki solusi x = –1, y = 4 karena dua persamaan pertama tidak memiliki informasi yang saling bertentangan. Sementara itu, persamaan ketiga berlebihan karena bernilai sama jika persamaan pertama dan kedua dikalikan dengan dua lalu dijumlahkan.

Sistem

${\displaystyle {\begin{aligned}x+y&=3,\\x+2y&=7,\\4x+6y&=21\end{aligned}}}$

tidak konsisten karena persamaan terakhir memiliki informasi yang bertentangan dengan dua persamaan pertama. Jika dua persamaan pertama dikali dua dan dijumlahkan, maka akan memberikan informasi yang berbeda dengan persamaan terakhir.

Sebuah sistem persamaan linear dikatakan konsisten jika dan hanya jika matriks koefisiennya memiliki rank yang sama dengan matriks imbuhannya. Jika matriks koefisien memiliki tambahan kolom, kolom tersebut haruslah menjadi vektor kolom yang berisi konstanta.