Artikel ini membutuhkan lebih banyak pranala ke artikel lain untuk meningkatkan kualitasnya. Silakan mengembangkan artikel ini dengan menambahkan pranala yang relevan ke konteks pada teks eksisting. (Januari 2023) (Pelajari cara dan kapan saatnya untuk menghapus pesan templat ini)

Ada usul agar artikel ini digabungkan dengan Integrasi Lebesgue-Stieltjes. (Diskusikan)

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$.

Fungsi karakteristik ${\displaystyle \chi _{A}:X\rightarrow \{0,1\}}$ untuk himpunan ${\displaystyle A\subseteq X}$ adalah

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {jika} \;x\in A\\0&\mathrm {jika} \;x\not \in A\end{cases}}.}$

Suatu fungsi ${\displaystyle \phi :X\rightarrow \mathbb {R} }$ tersebut fungsi sederhana, jika

${\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$

untuk ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}\in \Sigma }$ dan ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana ${\displaystyle \phi =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}}$ sebagai

${\displaystyle \int _{X}\phi \,d\mu =\sum _{i=1}^{n}\,\alpha _{i}\mu (A_{i}).}$

Misalnya ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\sup \left\{\int _{X}\phi \,d\mu :\phi {\text{ sederhana, }}0\leq \phi \leq f\right\}.}$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \in [0,\infty ]}$.

Misalnya ${\displaystyle f:(X,\Sigma )\rightarrow (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif ${\displaystyle f^{+}}$ dan ${\displaystyle f^{-}}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai ${\displaystyle f^{+}=\max\{f,0\}}$ dan ${\displaystyle f^{-}=\max\{-f,0\}}$. Perhatikan bahwa ${\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}$ dan ${\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}}$.

Jika ${\displaystyle \int _{X}f^{+}\,d\mu <\infty }$ dan ${\displaystyle \int _{X}f^{-}\,d\mu <\infty }$, maka ${\displaystyle f}$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu =\int _{X}f^{+}\,d\mu -\int _{X}f^{-}\,d\mu .}$

Jelas, ${\displaystyle f}$ terintegralkan jika dan hanya jika ${\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty }$.

• Integral itu linear, yaitu jika ${\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }$ dan ${\displaystyle f,g}$ fungsi terintegralkan, maka ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ juga terintegralkan dengan

${\displaystyle \int _{X}\alpha f+\beta g\,d\mu =\alpha \int _{X}f\,d\mu +\beta \int _{X}g\,d\mu .}$

• Integral itu monoton, yaitu jika ${\displaystyle f,g}$ fungsi terintegralkan dan ${\displaystyle f\leq g}$, maka

${\displaystyle \int _{X}f\,d\mu \leq \int _{X}g\,d\mu .}$