Struktur aljabar → Teori gelanggang Teori gelanggang
Konsep dasar Gelanggang • Subgelanggang • Ideal • Gelanggang hasil bagi • Ideal pecahan • Gelanggang hasil bagi total • Gelanggang produk • Produk bebas dari aljabar asosiatif • Produk tensor gelanggang Gelanggang homomorfisme • Kernel • Keautomorfan dalam • Endomorfisme Frobenius Struktur aljabar • Modul • Aljabar asosiatif • Gelanggang bergradasi • Gelanggang involutif • Kategori gelanggang • Gelanggang initial ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Gelanggang terminal ${\displaystyle 0=\mathbb {Z} _{1}}$ Struktur terkait • Medan • Medan hingga • Gelanggang non-asosiatif • Gelanggang Lie • Gelanggang Jordan • Semigelanggang • Semimedan
Aljabar komutatif Gelanggang komutatif • Ranah integral • Ranah tertutup secara integral • Ranah GCD • Ranah faktorisasi unik • Ranah ideal utama • Ranah Euklides • Medan • Medan hingga • Gelanggang komposisi • Gelanggang polinomial • Gelanggang deret kuasa/pangkat formal Teori bilangan aljabar • Medan bilangan aljabar • Gelanggang bilangan bulat • Kebebasan aljabar • Teori bilangan transendental • Derajat transendensi Teori bilangan dan desimal p-adik • Limit langsung/Limit invers • Gelanggang nol ${\displaystyle \mathbb {Z} _{1}}$ • Bilangan modulo pn ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ • Prüfer gelanggang-p ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty })}$ • Base-p gelanggang lingkaran ${\displaystyle \mathbb {T} }$ • Base-p bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ • Rasional p-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} [1/p]}$ • Base-p bilangan real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ • Bilangan bulatp-adik ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ • Bilangan p-adik ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ • Salenoid p-adik ${\displaystyle \mathbb {T} _{p}}$ Geometri aljabar • Variasi Afin
Aljabar nonkomutatif Gelanggang nonkomutatif • Gelanggang pembagian • Gelanggang semiprimitif • Gelanggang sederhana • Komutator Geometri aljabar nonkomutatif Aljabar bebas Aljabar Clifford • Aljabar geometris Operasi aljabar
l b s

Di matematika, gelanggang bilangan bulat dari medan bilangan aljabar K adalah gelanggang dari seluruh bilangan bulat aljabar yang terdiri dalam K.^[1] Sebuah bilangan bulat aljabar adalah akar dari polinomial monik dengan koefisien bilangan bulat: xⁿ + c_n-1 x^n-1 + … + c₀.^[2] Gelanggang ini sering dituliskan sebagai O_K atau O_K. Karena setiap bilangan bulat termasuk dalam K dan adalah elemen integral dari K, gelanggang Z selalu adalah subgelanggang dari O_K.

Gelanggang bilangan bulat Z adalah gelanggang bilangan bulat paling sederhana.^[a] Yaitu, Z = O_Q, dengan Q adalah lapangan dari bilangan rasional.^[3] Dan benar, pada teori bilangan aljabar, elemen Z sering disebut sebagai "bilangan bulat rasional" karena ini.

Contoh paling sederhana lainnya dari gelanggang ini adalah bilangan bulat Gauss Z[i], yang terdiri dari bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan bulat. Ini adalah gelanggang bilangan bulat pada bidang bilangan Q(i) dari rasional Gauss, yang berisi bilangan kompleks yang bagian riil dan imajinernya adalah bilangan rasional. Seperti bilangan bulat rasional, Z[i] adalah domain Euclide.

Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar adalah orde maksimal unik dari lapangan tersebut. Hal ini selalu adalah domain Dedekind.^[4]

Gelanggang bilangan bulat O_K adalah modul Z terbangkit terhingga [en]. Benar, itu adalah modul bebas Z dan maka adalah basis integral, yaitu basis b₁, …, b_n ∈ O_K dari K ruang vektor Q yang setiap element x pada O_K dapat direpresentasikan secara unik sebagai:

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i},}$

dengan a_i ∈ Z.^[5] Peringkat n dari O_K sebagai modul bebas Z bernilai sama dengan derajat [en] dari K terhadap Q.

Perkakas yang membantu dalam perhitungan penutupan integral gelanggang bilangan bulat pada lapangan aljabar K/Q adalah diskriminan. Jika K adalah derajat n terhadap Q, dan α₁, …, α_n ∈ O_K membentuk basis dari K terhadap Q, himpunan d = Δ_K/Q(α₁, …, α_n). Maka, O_K adalah submodul dari modul Z yang terbentang pada α₁/d, …, α_n/d.^[6]: 33 Bahkan, jika d adalah kuadrat bebas, maka α₁, …, α_n membentuk basis integral untuk O_K.^[6]:35

Jika p adalah prima, ζ adalah akar satuan ke-p dan K = Q(ζ} adalah lapangan siklotomik [en] yang sesuai, maka basis integral dari {{{1}}} diberikan sebagai (1, ζ, ζ², …, ζ^p-2).^[7]

Jika d adalah bilangan bulat bebas kuadrat dan K = Q(√d) adalah lapangan kuadrat yang sesuai, maka O_K adalah gelanggang dari bilangan bulat kuadrat dan basis integralnya bernilai (1, (1 + √d) /2) jika d ≡ 1 (mod 4) dan (1, √d) jika d ≡ 2, 3 (mod 4).^[8] Hal ini dapat dilihat dengan menghitung polinomial minimal dari elemen a + b√d ∈ Q(√d) apa pun, dengan a, b ∈ Q.

Pada gelanggang bilangan bulat, setiap elemen memiliki faktorisasi pada elemen taktereduksi, tapi gelanggang tersebut tidak harus memiliki properti Teorema dasar aritmetika|faktorisasi unik]]. Contoh, pada gelanggang bilangan bulat Z[√-5], elemen 6 memiliki dua faktorisasi yang pada dasarnya berbeda pada elemen taktereduksi:^[4][9]

${\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}}).}$

Sebuah gelanggang bilangan bulan selalu merupakan domain Dedekind, dan maka, memiliki faktorisasi ideal unik pada prima ideal.^[10]

[[Unit (teori gelanggang)|Unit dari gelanggang bilangan bulat O_K adalah grup abelian yang dihasilkan tak hingga oleh teorema unit Dirichlet. Subgrup torsi bersisi akar satuan dari K. Satu himpunan penghasil bebas torsi disebut sebagai himpunan unit fundamental.^[11]

Gelanggang bilangan bulat dapat didefinisikan sebagai lapangan lokal tak-archimedes F sebagai himpunan dari seluruh elemen F dengan nilai mutlak ≤ 1. Ini adalah gelanggang karena pertidaksamaan segitiga yang kuat.^[12] Jika F adalah penyelesaian dari lapangan bilangan aljabar, gelanggang bilangan bulatnya adalah penyelesaian dari gelanggang bilangan bulat yang terakhir. Gelanggang bilangan bulat dari lapangan bilangan aljabar dapat juga dikarakterisasi sebagai elemen dengan bilangan bulat pada setiap penyelesaian tak-archimedes.^[3]

Misalnya, bilangan bulat p-adic Z_p adalah gelanggang bilangan bulat bilangan p-adic Q_p.