Bagian dari serial artikel mengenai
konstanta matematika e
Sifat
Logaritma alami Fungsi eksponensial
Penerapan
Bunga majemuk Identitas Euler Rumus Euler Waktu paruh pertumbuhan dan peluruhan eksponensial
Pendefinisian e
Bukti bahwa e irasional Representasi dari e Teorema Lindemann–Weierstrass
Tokoh
John Napier Leonhard Euler
Topik terkait
Konjektur Schanuel
l b s

Bilangan ${\displaystyle e}$ diperkenalkan oleh Jacob Bernoulli pada tahun 1683. Lebih dari setengah abad kemudian, Euler (yang merupakan murid dari adiknya Jacob, Johann) berhasil membuktikan bahwa ${\displaystyle e}$ adalah bilangan irasional; yang berarti, bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.

Euler menulis bukti pertama mengenai keirasionalan ${\displaystyle e}$ pada tahun 1737 (tetapi tulisannya baru diterbitkan tujuh tahun kemudian).^[1][2][3] Ia menghitung ${\displaystyle e}$ sebagai pecahan berlanjut, yaitu $${\displaystyle e=\left[2;\,1,\,2,\,1,\,1,\,4,\,1,\,1,\,6,\,1,\,1,\,8,\,1,\,1,\,\ldots ,\,2n,\,1,\,1,\,\ldots \right]}$$

Terdapat bukti singkat dari kesamaan di atas.^[4] Oleh karena pecahan berlanjut ini tidak berhenti dan setiap bilangan rasional memiliki pecahan berlanjut yang berhenti, maka ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan irasional. Perhatikan bahwa pecahan berlanjut dari ${\displaystyle e}$ tidak bersifat periodik. Akibatnya, ${\displaystyle e}$ bukanlah akar dari polinomial kuadratik dengan koefisien rasional; lebih lanjut, ${\displaystyle e^{2}}$ merupakan bilangan irasional.

Bukti yang paling terkenal ialah pembuktian melalui kontradiksi oleh Joseph Fourier,^[5] yang didasarkan pada persamaan $${\displaystyle e=\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}}$$

Pada awalnya, ${\displaystyle e}$ diasumsikan sebagai bilangan rasional dengan bentuk ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$. Idenya ialah menganalisis selisih yang diperbesar (pada artikel ini ditulis sebagai ${\displaystyle x}$) antara representasi deret dari ${\displaystyle e}$ dengan jumlahan parsial ke-${\displaystyle b}$. Dengan memilih faktorial dari ${\displaystyle b}$ sebagai faktor skalanya, pecahan ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ dan jumlahan parsial ke-${\displaystyle b}$ akan berubah menjadi bilangan bulat, sehingga ${\displaystyle x}$ haruslah bilangan bulat positif. Akan tetapi, kekonvergenan yang cepat dari representasi deretnya mengakibatkan ${\displaystyle x}$ haruslah kurang dari 1. Oleh karena terjadi kontradiksi, maka dapat disimpulkan bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan irasional.

Jika ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan rasional, maka terdapat bilangan asli ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle e={\tfrac {a}{b}}}$. Didefinisikan bilangan $${\displaystyle x:=b!\left(e-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)}$$

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$. Dengan menggunakan asumsi bahwa ${\displaystyle e={\tfrac {a}{b}}}$, maka didapatkan $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b!\left(e-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)\\&=b!\left({\dfrac {a}{b}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)\\&=a(b-1)!-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {b!}{n!}}\end{aligned}}}$$

Perhatikan bahwa ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b-1}$ merupakan bilangan asli, sehingga ${\displaystyle a(b-1)!}$ merupakan bilangan bulat. Lebih lanjut, setiap pecahan di dalam notasi Sigmanya juga merupakan bilangan bulat, sebab nilai ${\displaystyle n\leq b}$ pada setiap sukunya. Akibatnya, dengan asumsi bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan rasional, maka ${\displaystyle x}$ merupakan bilangan bulat.

Akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle 0<x<1}$. Pertama, akan ditunjukkan bahwa ${\displaystyle x>0}$ dengan menggunakan definisi dari ${\displaystyle x}$ beserta representasi deret dari ${\displaystyle e}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle x=b!\left(\sum _{n\,=\,0}^{\infty }{\dfrac {1}{n!}}-\sum _{n\,=\,0}^{b}{\dfrac {1}{n!}}\right)=\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }{\dfrac {b!}{n!}}>0}$$ sebab setiap suku pada jumlahan di atas bernilai positif.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa ${\displaystyle x<1}$. Perhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\sum _{n\,=\,b+1}^{\infty }{\dfrac {b!}{n!}}\\&={\dfrac {b!}{(b+1)!}}+{\dfrac {b!}{(b+2)!}}+{\dfrac {b!}{(b+3)!}}+{\dfrac {b!}{(b+4)!}}+\,\ldots \\&={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}}+\,\ldots \\&<{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)(b+1)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+1)(b+1)(b+1)}}+\,\ldots \\&={\dfrac {1}{b+1}}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!2}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!3}+\left({\dfrac {1}{b+1}}\right)^{\!4}+\,\ldots \\&={\dfrac {\tfrac {1}{b+1}}{1-{\tfrac {1}{b+1}}}}\\&={\dfrac {1}{b}}\leq 1\end{aligned}}}$$ Baris keenam diperoleh melalui rumus deret geometrik. Berdasarkan hasil di atas, maka terbukti bahwa ${\displaystyle x<1}$.

Berdasarkan kedua uraian sebelumnya, klaim 2 menimbulkan kontradiksi dengan klaim 1. Akibatnya, asumsi di awal (bahwasanya ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan rasional) bernilai salah, sehingga terbukti bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan irasional. Q.E.D.

Bukti lain^[6] dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)(b+4)}}+\,\ldots \\(b+1)x&=1+{\dfrac {1}{b+2}}+{\dfrac {1}{(b+2)(b+3)}}+{\dfrac {1}{(b+2)(b+3)(b+4)}}+\,\ldots \\(b+1)x&<1+{\dfrac {1}{b+1}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)}}+{\dfrac {1}{(b+1)(b+2)(b+3)}}+\,\ldots \\(b+1)x&<1+x\\bx&<1\end{aligned}}}$$

Hal ini mustahil terjadi, sebab ${\displaystyle b}$ dan ${\displaystyle x}$ merupakan bilangan bulat positif.

Pada tahun 1840, Liouville mempublikasikan bukti bahwa ${\displaystyle e^{2}}$ merupakan bilangan irasional,^[7] disusul dengan bukti bahwa ${\displaystyle e^{2}}$ bukanlah akar dari polinomial derajat dua dengan koefisien rasional.^[8] Informasi tersebut mengakibatkan bahwa ${\displaystyle e^{4}}$ irasional. Isi buktinya mirip dengan bukti Fourier mengenai keirasionalan ${\displaystyle e}$. Pada tahun 1891, Hurwitz menjelaskan bahwa gagasan serupa juga dapat digunakan untuk membuktikan bahwa ${\displaystyle e}$ bukanlah akar dari polinomial derajat tiga dengan koefisien rasional, yang mengakibatkan bahwa ${\displaystyle e^{3}}$ irasional.^[9] Secara umum, bilangan ${\displaystyle e^{q}}$ merupakan bilangan irasional, untuk sembarang bilangan rasional tak nol ${\displaystyle q}$.^[10]

Pada tahun 1873, Charles Hermite membuktikan bahwa ${\displaystyle e}$ merupakan bilangan transendental, yang berarti bahwa ${\displaystyle e}$ bukanlah akar dari polinomial dengan koefisien rasional, dan begitu juga dengan bilangan ${\displaystyle e^{\alpha }}$ untuk setiap bilangan aljabar tak nol ${\displaystyle \alpha }$.^[11]

• Karakterisasi fungsi eksponensial
• Bilangan transendental, termasuk bukti bahwa e transendental
• Teorema Lindemann–Weierstrass
• Bukti bahwa π irasional

1. ^ Euler, Leonhard (1744). "De fractionibus continuis dissertatio" (PDF). Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae (dalam bahasa Prancis). 9: 98–137.
2. ^ Euler, Leonhard (1985). "An essay on continued fractions". Mathematical Systems Theory (dalam bahasa Inggris). 18: 295–398. doi:10.1007/bf01699475.
3. ^ Sandifer, C. Edward (2007). "Chapter 32: Who proved e is irrational?" [Bab 32: Siapa yang membuktikan e irasional?]. How Euler did it [Bagaimana cara Euler melakukannya] (dalam bahasa Inggris). Mathematical Association of America. hlm. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658.
4. ^ Cohn, Henry (2006). "A short proof of the simple continued fraction expansion of e" [Bukti singkat dari ekspansi sederhana pecahan berlanjut dari e]. The American Mathematical Monthly (dalam bahasa Inggris). 113 (1): 57–62. arXiv:math/0601660. Bibcode:2006math......1660C. doi:10.2307/27641837. JSTOR 27641837.
5. ^ de Stainville, Janot (1815). Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie. Veuve Courcier. hlm. 340–341.
6. ^ MacDivitt, A. R. G.; Yanagisawa, Yukio (1987), "An elementary proof that e is irrational" [Bukti elementer bahwa e irasional], The Mathematical Gazette, 71 (457), London: Mathematical Association: 217, doi:10.2307/3616765, JSTOR 3616765
7. ^ Liouville, Joseph (1840). "Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (dalam bahasa Prancis). 5: 192.
8. ^ Liouville, Joseph (1840). "Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1 (dalam bahasa Prancis). 5: 193–194.
9. ^ Hurwitz, Adolf (1933) [1891]. "Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e". Mathematische Werke (dalam bahasa Jerman). Vol. 2. Basel: Birkhäuser. hlm. 129–133.
10. ^ Aigner, Martin; Ziegler, Günter M. (1998). Proofs from THE BOOK (Edisi ke-4). Berlin, New York: Springer-Verlag. hlm. 27–36. doi:10.1007/978-3-642-00856-6. ISBN 978-3-642-00855-9.
11. ^ Hermite, C. (1873). "Sur la fonction exponentielle". Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris (dalam bahasa Prancis). 77: 18–24.